اینجا ریاضی سه ، دو ، یک  سلام و خوش آمدید  رياضيات شانه ایست  ،  بر زلف پریشان هستی   مطالب تکمیلی مبحث مورد نظرتان را ، در ستون موضوعات وب ببینید 
مباحث متنوع رياضي و . . . - جذر !!!
 
ياد داشت هاي روزانه علیرضا حافظی نسب "Ali reza Hafezi nasab"
 

در كتاب رياضي سوم راهنمايي براي محاسبه جذر يك عدد ،روشي مطرح شده كه: برخلاف  روش مطرح شده در پايه دوم راهنمايي كه علي رغم تقريبي بودن با دليل و برهان عنوان مي شود ،حتي در راهنماي تدريس پايه سوم هم دليلي براي روش گفته شده بيان نمي شود و اين در حالي است كه در پايه سوم روش دقيقي را براي محاسبه جذر اعداد اعمال مي كنبم.

در اين قسمت سعي مي شود با دقت در روش جذر گرفتن پايه سوم راهنمايي دليل آن را بيابيم و حتي با همان ديدگاه،  محاسبه ريشه هاي سوم ،چهارم و . . . نيز امكان پذير باشد.

 برای استفاده از فایل

Microsoft Office Word ۲۰۰۳

از لینک زیر استفاده کنید.

حجم فایل ۱۲۰کیلوبایت

دانلود:کنکاش در نحوه ی محاسبه ی جذر پایه ی سوم راهنمایی و نشانی بر نحوه ی محاسبه ی ریشه ی سوم،چهارم و  . . .


براي آغاز بحث جذر، عدد 2231 را با تقريب كم تر از "يك" بدست مي آوريم.

الف) از سمت راست دو رقم دو رقم جدا مي كنيم.

به اين ترتيب عدد 2231 در دو جزء  ديده مي شود و همين جا مي توانيم تشخيص دهيم كه جواب جذر 2231 دو رقمي است.

بنابراين وقتي جذر تقريبي 22 را  4 در نظر مي گيريم در واقع جذر تقريبي 2200 را  با تقريب كم تر از 10 و به روش قطع كردن 40 حدس زده ايم.

بنابراين :

                                                            

ب) در مرحله بعد جواب بدست آمده"4" را در 2 ضرب مي كنيم"8" و بزرگترين عددي كه مي توانست در قرار بگيرد تا  حاصل   × 8  بيش تر از 631 نباشد را پيدا مي كرديم.

بنابراين معادل همين كار را در سمت چپ انجام دهيم.

يعني در واقع ما عدد 40 را دو برابر مي كنيم و بزرگترين عددي كه مي تواند به عدد80 اضافه شود تا حاصل  ×( +80 )  بيش تر از 631 نباشد را پيدا مي كنيم

                                                

و سرانجام با صرف نظر از رقم يكان عدد 631 و تقسيم آن بر 8 عدد داخل  را حدس مي زديم. لذا: درواقع جزء صحيح تقسيم 631 بر 80 را به عنوان رقم يكان پاسخ جذرمان پيشنهاد مي كنيم.

در نتيجه داريم:

                            

 بنابراين پاسخ جذر  با تقريب كم تر از :يك"   47=7+40 مي باشد.

اما بياييد دقت كنيم با عدد مورد نظرمان "2231" چه كرديم؟

اولا: 1600 يا 402 را از 2231 كم كرديم .

ثانيا: 7×(7+80) يا 7×(7+40×2) را نيز از 2231 كم كرديم

به عبارتي ديگر ما در مجموع  7×(7+40×2)+402      يا

                                                              72+(7×40)2 +402            

را از 2231 كم كرده ايم ومجموع 40و 7 جواب جذر و عدد 22 هم باقي ماند

از طرفي  72+(7×40)2+402بسط 2(7+40) مي باشد

به عبارت ديگر در جذر گرفتن: بسط دوجمله ای a+b)2=a2+2ab+b2  )   به صورت 

 a2+(2a+b)b مورد استفاده قرار مي گيرد.

بنابر آنچه گذشت: روش مطرح شده در رياضي سوم راهنمايي براي محاسبه يك جذر جلوه اي خيره كننده از انسجام و اختصار مربع هاي دو جمله اي نهفته است.  

براي مثال وقتي جواب يك جذر 141 مي باشد،در فرايند جذر مربع 141 اينگونه از عددي كه جذز گرفته مي شود كم مي شود:

2[1+(40+100)]=1412

12+1(140)2+2(40+100)=

12+1(140)2+402+40(100)2+1002=

1(1+280)+40(40+200)+1002=

درنتيجه:                1(1+280)+40(40+200)+1002=1412

يعني: در محاسبه  جذر عددي كه پاسخ جذر آن 141 مي باشد ابتدا، حاصل 1002 سپش حاصل 40(40+200) و بعد حاصل 1(1+280) از آن كم مي شود و باقيمانده به جا مي ماند

حال مي خواهيم با استفاده از رابطه   a+b)2=a2+(2a+b)b ) ريشه دوم عدد 20000 را با تقريب كم تر از يك بدست آوريم

وقتي از سمت راست دو رقم دو رقم جدا مي كنيم عدد 20000 در سه جزء ديده مي شود پس حاصل جذر سه رقمي است و اولين عدد جواب در ارزش مكاني صدگان مي نشيند.

100 را دو برابر مي كنيم         200=(100)2=2a

و سعي مي كنيم مقدار b را در  2a+b)b)  حدس  بزنيم.

 

البته: به اين نكته دقت مي كنيم كه عدد درون با ارزش مكاني دهگان ظاهر خواهد شد.

بنابراين: تا اينجا جواب 140 را بدست آورده ايم و باز همين طور ادامه مي دهيم

280=(140)2=2a

و بار ديگر مي خواهيم مقدار b را در  2a+b)b)  پيدا كنيم.

عددي بعدي با ارزش يكان ظاهر خواهد شد پس داريم:

بنابراين جواب جذر 141 و باقيمانده 119 است.

............................تعميم...........................

براي ريشه سوم و ريشه چهارم و . . . نيز مي توان چنين فرايندي را طي كرد

a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b=  a3+(3a2+3ab+b2)b)

a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+3ab3+b4 = a4+(4a3+6a2b+3ab2+b3)b)

و . . .

مثال:ريشه سوم عدد 187643 را تا يك رقم اعشار  بدست مي آوريم.

رابطه مد نظر ما:   a3+(3a2+3ab+b2)b

چون مي خواهيم جواب تا يك رقم اعشار بدست آيد بايد (1×3) سه رقم اعشار داشته باشيم و براي رشه سوم سه رقم سه رقم جدا مي كنيم.

پس جواب ما دورقمي و داراي يك رقم اعشار خواهد بود  "دهم/يكان ،  دهگان"

ريشه سوم 187 بيش تر از 5 و كم تر از 6 است. البته 5 در ارزش مكاني دهگان خواهد نشست پس:

حال با توجه به a3+(3a2+3ab+b2)b مقادير 3a2    و    3a را محاسبه مي كنيم .۵۰=a

و سعي داريم: مقدار b را در  3a2+3ab+b2)b)  با ارزش مكاني يكان پيدا كنيم لذا:

در اين مرحله حدس زدن عدد بعدي راحت به نظر نمي رسد و بايد گزينه هايي را امتحان كرد.

ابتدا عدد 5 را قرار مي دهيم داريم:

41375=5(52+5×150+7500)

كه 41375 از 62643 كم تر است پس با 8 امتحان مي كنيم

70112=8(82+8×150+7500)

و اين جواب از 62643 بيشتر است در نتيجه 8 مناسب نيست و عدد 7 را قرار مي دهيم.

60193=7(72+7×150+7500)

و 60193 از 62643 كم تر است لذا 7 عدد صحيح است.

بنابراين:

براي پيشروي در محاسبه بار ديگر مقادير 3a2    و    3a  را محاسبه مي كنيم

البته تا اينجا جواب 57 را بدست آورده ايم پس a را 57 در نظر مي گيريم.

و بايستي عدد جديد را با ارزش مكاني دهم حدس بزنيم

 

بنابراين ريشه سوم 187643 تا يك روش اعشار 2/57 مي باشد و باقيمانده نيز 752/493 مي باشد.

در ضمن با رسم شكل نيز مي توان براي نحوه محاسبه ريشه دوم و ريشه سوم اعداد به همين روش كه به كمك عبارات جبري بيان شد دست يافت.

 مناسب است به اين نكته نيز اشاره كنم كه:اگر جذر عددي مانند A را a محاسبه كرده باشیم.  " اگر  a  عددی اعشاری باشد از ممیز آن برای این بخش از امتحان جذر صرف نظر می شود" در این صورت باقيمانده اين جذر بايد كم تر از  2a+1   باشد زيرا:  

a+1)2=a2+2a+1 ) بنابراين:

  a+1)2-a2=2a+1)

و يا: در محاسبه ريشه سوم باقيمانده بايد از باقيمانده  a+1)3-a3 )  كم تر باشد

پس در محاسبه ريشه سوم باقيمانده : بايد از مجموع (سه برابر مربع جواب بدست آمده با سه برابر جواب بدست آمده و عدد  يك ) كم تر باشد 

UP

  نوشته شده در  دوشنبه ششم مهر 1388ساعت 16:15  توسط   | 
  POWERED BY BLOGFA.COM