تعداد مقسوم علیه ها و مجموع مقسوم عليه هاي يك عدد
نحوه پيدا كردن تعداد مقسوم عليه هاي يك عدد و همچنين روش تعيين مجموع مقسوم عليه هاي يك عدد "با استفاده از تجزيه ي اعداد به حاصل ضرب عوامل اول" از جمله روابطي هستند كه معمولا در كتب مختلف ويژه مقطع راهنمايي بدون كمترين توضيحي بيان شده است.به همين جهت مناسب ديدم با ذكر چند مثال "در راستاي يافتن روابط مورد نظر توسط خود دانش آموزان "تا حدودي به توضيح مطلب پرداخته شود.
برای دانلود مطلب و مطالب تکمیلی اینجا کلیک کنید
مثال1-الف) مجموعه ي مقسوم عليه هاي عدد 8 را بنويسيد. {8 , 4 ,2 ,1}
ب) عدد 8 را به صورت حاصل ضرب عامل هاي اول آن بنويسيد. 23=8
ج) هر يك از مقادير 20 , 21 , 22 و 23 را حساب كنيد.
1=20 , 2=21 , 4=22 , 8=23
آيا 20 , 21 , 22 و 23 همه ي مقسوم عليه هاي عدد 23 نيستند؟
آيا بدون نوشتن مقسوم عليه هاي عدد 23 مي توانستيد تعداد مقسوم عليه ها را پيش بيني كنيد؟ چگونه؟
عدد 72=49 چند مقسوم عليه دارد؟
پاسخ: به جهت اينكه علاوه بر 71 و 72 عدد 70 نيز يك مقسوم عليه 72 مي باشد
پس عدد 72=49داراي (1+2) مقسوم عليه مي باشد.
پرسش1- هر يك از اعداد زير چند مقسوم عليه دارد؟
: 16 : 27 : 59 : 75 : 31
مثال2-عدد 7×23 =56 چند مقسوم عليه دارد؟
مقسوم عليه هاي عدد 23 عبارتند از مجموعه ي 4 عضوي: {20 , 21 , 22 و 23}=A
و مقسوم عليه هاي عدد 7 هم عبارت است از: مجموعه ي 2 عضوي: از:{7 و1}=B
اگر هر يك اعداد مجموعه ي B را در اعضاي مجموعه ي A ضرب كنيم اعداد زير
بدست مي آيد. 20 ×1 ,21 ×1 , 22 ×1 , 23 ×1 و 20 ×7 ,21 ×7 , 22 ×7 , 23 ×7 و به
مجموعه ي مقابل مي رسيم كه "هشت"عضو دارد.{1 , 2 , 4 , 8 , 7 , 14 , 28 , 56}
آيا مجموعه ي بدست آمده همان مجموعه ي مقسوم عليه هاي عدد 7×23 =56 نيست؟
آيا مي توانستيم تعداد مقسوم عليه اي عدد 71×23 را پيش بيني كنيم؟ چگونه؟
عدد 37×52 چند مقسوم عليه دارد؟
پاسخ: طبق آنچه گفته شد عدد 37 داراي 8 مقسوم عليه و عدد 52 داراي 3 مقسوم عليه است. بنابراين عدد 37×52 داراي (24=8×3) مقسوم عليه خواهد بود.
پرسش2- هر كدام از اعداد زير چند مقسوم عليه دارد؟
: 34×72×5×24 : 1710×38 : 52×25
: 48×35 : 300
بنابراين اگر A يك عدد طبيعي باشد و با تجزيه به حاصل ضرب عوامل اول
به صورت: 
نوشته شود.عدد A داراي 
مقسوم عليه خواهد بود.
مثال3- الف)مجموعه ي مقسوم عليه هاي عدد 34=81 را مي نويسيم.
{34, 33 , 32 , 31 , 30 }
ب)مجموع مقسوم عليه هاي عدد 34 را بدست آوريد.
=34 +33 + 32 + 31 +30
حاصل اين جمع را مي توان با استفاده از مفهوم توان به رابطه ي 
تبديل كرد. در نتيجه: 
بنابراين
مجموع مقسوم عليه هاي عدد 81 بايد 121 باشد."امتحان كنيد"
پرسش3- مجموع مقسوم عليه هاي هر يك ازاعداد زير را بدست آوريد.
: 16 : 33 : 25 : 72
مثال4- مجموع مقسوم عليه هاي عدد 52×23 =200 را بدست آوريد.
مجموع مقسوم عليه هاي عدد 23 عبارت است از:(20 + 21 + 22 + 23) و مجموع مقسوم
عليه هاي عدد 52 هم عبارت است از:(50+ 51+52)
با ضرب اين دو مقدار داريم: (20 ×50+ 21 × 50+ 22 ×50 + 23 ×50 + 20 ×51
+ 21 ×51 + 22 ×51+ 23 ×51 +20 ×52+ 21 ×52+ 22 ×52+ 23 ×52) و به
جمع مقابل مي رسيم: 1+2+4+8+5+10+20+40+25+50+100+200
و مي بينيم اعداد بدست آمده همان مقسوم عليه هاي عدد 52×23 =200 است!!
بنابراين با تجزيه ي عدد به عوامل اول و " محاسبه ي مجموع مقسوم عليه هاي هر يك از عوامل اول"و سپس ضرب آنها در يكديگر مي توان مجموع مقسوم عليه هاي يك عدد را پيدا كرد.
مثالي ديگر:مجموع مقسوم عليه هاي عدد 60 را بدست آوريد. 51×31×22=60
پاسخ: 
168=60+30+20+15+12+10+6+5+4+3+2+1=مجموع مقسوم عليه هاي عدد 60
پرسش4- مجموع مقسوم عليه هاي هر عدد را بدست آوريد.
: 42×23 : 720 : 3×27 32×22
اگر A يك عدد طبيعي باشد و با تجزيه به حاصل ضرب عوامل اول
به صورت: نوشته شود.
مجموع مقسوم عليه هاي عدد A از رابطه زير بدست مي آيد.
