هندسه هاي نااقليدسي
 هندسه هاي نااقليدسي(Non Euclidean Geometry)  هندسه ي ناقليدسي يا به عبارت بهتر و دقيقتر هندسه هاي نااقليدسي هندسه هايي هستند که در آنها اصل پنجم اقليدس اعتبار خود را از دست مي دهد . بنا بر اصل پنجم اقليدس در هندسه اگر يک خط راست در يک صفحه و يک نقطه را در رو و يا خارج از آن در نظر بگيريم ، فقط و فقط يک خط موازي وجود دارد که از اين نقطه ي مفروض مي گذرد و با خط ياد شده موازي است . به عبارت بهتر، در هندسه ي اقليدسي فقط يک و تنها يک خط موازي با هر خط مفروض در هر صفحه با استفاده از نقطه اي که رو و يا خارج از آن قرار دارد ، مي توان رسم نمود. شايد شما چنين چيزي را بديهي فرض کنيد . رياضيدانان اوليه هم اينگونه فکر مي کردند. اما سؤال اساسي در اينجاست که چرا بايستي چنين چيزي را به عنوان يک اصل بپذيريم . آنچه که در اينجا لازم است تا بدان پرداخته شود ، آن است که يک استدلال شهودي نمي تواند همواره راهگشاي ما باشد . بنا بر اين رياضيدانان تلاش نمودند تا اصل پنجم اقليدس را به عنوان يک قضيه ثابت کنند . در اين راه رياضيدانان بزرگي از خواجه نصير طوسي گرفته تا دانشمنداني نظير لژاندر ، همگي به نوعي با اين مسأله دست و پنجه نرم مي کردند . اما کوشش آنها ثمربخش نبود . ساکري ، يکي ديگر از رياضيدانان مشهور نيز در اين راه توفيقاتي به دست آورد ؛ اما در نهايت او هم راه به جايي نبرد. در اوايل قرن نوزدهم ميلادي «لوباچفسکي» در روسيه و «يانوش بويوئي » در مجارستان کنوني به اين نتيجه رسيدند که از برهان خلف استفاده کنند. آنها اين طور استدلال کردند که به جاي اثبات اصل توازي ،فرض کنند که نقيض آن درست است و بر اين مبنا هندسه ي جديدي را پايه گذاري کردند .  آنها اينگونه انديشيدند که با درست فرض کردن نقيض اصل توازي اقليدسي ، اگر در هر مرحله به تناقض برخورد نمودند ، مي توانند نتيجه بگيرند که فرض اوليه ي آنها مبني بر عدم درستي تقيض اصل توازي غلط بوده و بدين ترتيب اصل توازي به عنوان يک قضيه به اثبات برسد. آنها فرض کردند که به جاي يک خط بتوان حداقل دو خط رسم کرد که از نقطه ي مفروض بگذرند و با خط اصلي موازي باشند . ( امروزه اين هندسه به هندسه ي هذلولوي شهرت دارد . ) در هندسه اي که بدين ترتيب پايه گذاري شد ، خطوط موازي بي شماري مي توان رسم کرد که از نقطه اي خارج از يک خط مفروض بگذرند و با آ ن خط موازي باشند . در اين نوع هندسه که در ادامه آن را مفصلتر شرح خواهيم داد ، جمع زواياي داخلي در هر مثلث از 180 درجه کمتر خواهد بود ؛ مستطيل در اين هندسه وجود ندارد و نسبت محيط دايره به قطر آن از عدد پي (3/14) بيشتر است . مثلثهاي مشابه با يکديگر همنهشت (قابل انطباق ) هستند . بنابراين در هندسه ي هذلولوي تشابه به معناي تساوي است . در هندسه ي ديگري که توسط رياضيدان نامي «برنهارد ريمان »پايه گذاري شد ، فرض بر آن بود که هيچ خط موازيي نمي توان از نقطه اي خارج از يک خط به موازات آن رسم نمود . اين نوع هندسه به «هندسه ي بيضوي» مشهور است . در مثلثهايي که در اين نوع هندسه وجود دارند ، مجموع زواياي داخلي هر مثلث از 180 درجه بيشتر است . نسبت محيط دايره به قطرآن نيز از عدد پي کمتر است .   انواع هندسه هاي نااقليدسي هندسه ي هذلولوي (Hyperbolic Geometry)
«من از هيچ دنيايي شگفت انگيز آفريدم.» يانوش بويوئي  لوباچِفسکي ، کلاين و هانري پوانکاره مدلهايي از هندسه را ايجاد نمودند که در آنها مي توان خطوط موازي بي شماري را به موازات يک خط و از نقطه اي خارج از خط رسم نمود. شايان ذکر است که فقط اصل پنجم اقليدس است که مورد ترديد واقع شده است و سايراصول چهارگانه مورد پذيرش در تمامي هندسه هاي شناخته شده ي کنوني مي باشند . به ويژه اينکه ، يک خط راست همواره به کوتاهترين مسيري که دو نقطه در روي يک صفحه را به يکديگر متصل مي نمايد ، تعريف مي شود . مدل هاي بسيار زيادي از هندسه هاي نااقليدسي در دو بعد وجود دارند : ديسک پوانکاره ، نيم صفحه ي پوانکاره  هندسه ي بيضوي (Elliptic Geometry) در اواسط قرن نوزدهم ميلادي «برنهارد ريمان» مدل ديگري از هندسه ي نااقليدسي راپيشنهاد نمود که به هندسه بيضوي شهرت دارد . در اين حالت ، با استفاده از نقطه اي خارج از يک خط راست نمي توان هيچ خط موازيي با آن رسم نمود . اين مدل هندسه بسيار ساده است : • نقاط عبارتند از نقاطي که در قطبين يک کره جاي گرفته اند . • خطوط راست همان دايره هاي عظيمه هستند . به عبارت ديگر دوايري که مرکز آنها بر مرکز کره منطبق است . در جدول زير ساختار کلي اين دو نوع هندسه در کنار هندسه ي اقليدسي با يکديگر مقايسه شده اند .
|
||||||||||||||||||||
+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و نهم آذر ۱۳۹۱ ساعت 22:34 توسط
|
