معادله فيثاغورس
معادله فيثاغورس
مقصود از معادله فيثاغورس معادله متجانس درجه دوم x2+y2=z2 است.
حل اين معادله مفتاح حل معادلات سياله متعدد ديگر است.و بعلاوه متضمن نكات و تدابيري هم هست كه در مورد بسياري از معادلات سياله ديگر نيز به كار مي رود.
استاد بزرگ رياضي ايران مرحوم دكتر غلامحسين مصاحب در كتاب هاي تئوري مقدماتي اعداد و در فصلي جداگانه و كاملا مفصل پس از مقدمه اي كه بخشي از آن آورده شد. معادله فيثاغورس را از جنبه هاي مختلف "هندسي، تاريخي"به بحث مي گذارد و بعد در نهايت زيبايي به تعريف اصطلاحاتي چون "جوابهاي بيمايه، جواب هاي مثبت ،تقارن و جواب هاي اوليه" مي پردازد و سپس قضاياي گوناگوني را مطرح و اثبات مي نمايد.وبالاخره :
جميع جوابهاي معادله فيثاغورس را اين گونه بيان مي كند.
(z=t(m2+n2 و y=2tmn و (x=t(m2-n2
"به ازاي مقادير طبيعي پارامترهاي m و n كه m>n و جميع مقادير طبيعي پارامتر t وn)=1 وm)
به عنوان مثال به ازاي m=2 و n=5 و t=1 داريم
Z=1(52+22)=25+4=29 و Y=2(5)(2)=20 وX=1(52-22)=25-4=21
و اين عددها از جواب هاي طبيعي معادله فبثاغورس هستند. 212+202=292
اما من مي خواهم اين پرسش را مطرح كنم كه:
براي عدد مفروض x چگونه مي توان همه زوج هاي طبيعي y و z را پيدا كرد كه در معادله فيثاغورس صدق كنند؟ x2+y2=z2
به عبارتی دیگر چگونه دوعدد طبيعي ديگر بيابيم كه همراه با عدد مثلا ۲۰ در معادله فيثاغورس صدق كند؟و کامل تر آنکه چند زوج طبیعی وجود دارد که با عدد ۲۰ در رابطه فبثاغورس صدق می کنند؟
و اما پاسخ:
كافيست مقسوم عليه هاي مربع ۲۰ را به صورت حاصل ضرب هاي دو عدد طبيعي بنويسيم.
۲۰×20=25×16=40×10=50×8=80×5=100×4= 200×2=400×1=400=202
از اين زوج ها آنهايي كه از لحاظ زوجيت مشابه نباشند و يا با يكديگر مساوي باشند را حذف مي كنيم. بنا براين در اين مثال زوج (20 و 20) و نيز زوج هاي( 1 و 400 ) و (5 و 80) و (25 و 16) حذف مي شود.
و آنچه مي ماند قابل استفاده اند.
كافيست نصف مجموع و نصف اختلاف هر دو عدد را حساب كنيم.
بنا بر اين با استفاده از دو عدد 2 و 200 داريم .
101=2÷(2+200) و 99=2÷(2-200)y= x=۲۰
و 202+992=1012
400+9801=10201
با استفاده از دو عدد 4 و 100 داريم .
52=2÷(4+100) و 48=2÷(4-100)y= x=۲۰
و 202+482=522
400+2304=2704
با استفاده از دو عدد 4 و 100 داريم .
29=2÷(8+50) و 21=2÷(8-50)y= x=۲۰
و 202+212=292
400+441=841
با استفاده از دو عدد 10 و 40 داريم .
25=2÷(10+40) و 15=2÷(10-40)y= x=۲۰
و 202+152=252
400+225=625
در ضمن آن دسته از مقسوم عليه هاي مربع 20 را كه حذف كرديم هم در اين مورد چندان غير قابل استفاده نيستند.
كافي است جواب هاي معادله فبثاغورس را به جاي آنكه در مجموعه اعداد طبيعي محدود كنيم در مجموعه اعداد گوياي نا منفي جستجو كنيم و به روش فوق عمل كنيم.
آيا مي توانيد همه زوج هايي را كه با عدد 30 در رابطه فيثاغورس صدق مي كند را پيدا كنيد؟امتحان كنيد. x2+y2=z2
302+ y2=z2
Y=? z=?
