معادله فيثاغورس

معادله فيثاغورس

مقصود از معادله فيثاغورس معادله متجانس درجه دوم  x²+y²=z² است.

حل اين معادله مفتاح حل معادلات سياله متعدد ديگر است.و بعلاوه متضمن نكات و تدابيري هم هست كه در مورد بسياري از معادلات سياله ديگر نيز به كار مي رود.

استاد بزرگ رياضي ايران مرحوم دكتر غلامحسين مصاحب در كتاب هاي تئوري مقدماتي اعداد و در فصلي جداگانه و كاملا مفصل پس از مقدمه اي كه بخشي از آن آورده شد.  معادله فيثاغورس را از جنبه هاي مختلف "هندسي، تاريخي"به بحث مي گذارد   و بعد در نهايت زيبايي به تعريف اصطلاحاتي چون "جوابهاي بيمايه، جواب هاي مثبت ،تقارن و جواب هاي اوليه" مي پردازد و سپس قضاياي گوناگوني را مطرح و اثبات مي نمايد.وبالاخره :

جميع جوابهاي معادله فيثاغورس را  اين گونه بيان مي كند.

  (z=t(m²+n²      و       y=2tmn    و   (x=t(m²-n²

"به ازاي مقادير طبيعي پارامترهاي m و n  كه  m>n  و جميع مقادير طبيعي پارامتر t   وn)=1 وm)

به عنوان مثال به ازاي m=2  و n=5 و t=1   داريم

       Z=1(5²+2²)=25+4=29          و  Y=2(5)(2)=20                     وX=1(5²-2²)=25-4=21

و اين عددها از جواب هاي طبيعي معادله فبثاغورس هستند.             21²+20²=29²

اما من مي خواهم اين پرسش را مطرح كنم كه:

براي عدد مفروض x چگونه مي توان همه زوج هاي طبيعي y   و z  را پيدا كرد كه در معادله فيثاغورس صدق كنند؟   x²+y²=z²

به عبارتی دیگر چگونه دوعدد طبيعي ديگر بيابيم كه همراه با عدد مثلا ۲۰ در معادله فيثاغورس صدق كند؟و کامل تر آنکه چند زوج طبیعی وجود دارد که با عدد ۲۰ در رابطه فبثاغورس صدق می کنند؟

و اما پاسخ:

كافيست مقسوم عليه هاي مربع ۲۰ را به صورت حاصل ضرب هاي دو عدد طبيعي  بنويسيم.   

۲۰×20=25×16=40×10=50×8=80×5=100×4= 200×2=400×1=400=20²

از اين زوج ها آنهايي كه از لحاظ زوجيت مشابه نباشند و يا با يكديگر مساوي باشند را حذف مي كنيم. بنا براين در اين مثال زوج (20 و 20) و نيز زوج هاي( 1 و 400 ) و (5 و 80) و (25 و 16) حذف مي شود.

و آنچه مي ماند قابل استفاده اند.

(۴۰ و ۱۰)   و   (۵۰ و ۸)   و   (۱۰۰ و ۴)   و   (۲۰۰ و ۲)

كافيست نصف مجموع و نصف اختلاف هر دو عدد را حساب كنيم.

بنا بر اين  با استفاده از دو عدد 2 و 200 داريم .

         101=2÷(2+200)       و    99=2÷(2-200)y=      x=۲۰

و  20²+99²=101²

400+9801=10201

با استفاده از دو عدد 4 و 100 داريم .

         52=2÷(4+100)       و    48=2÷(4-100)y=      x=۲۰

و  20²+48²=52²

400+2304=2704

با استفاده از دو عدد 4 و 100 داريم .

         29=2÷(8+50)       و    21=2÷(8-50)y=      x=۲۰

و  20²+21²=29²

400+441=841

با استفاده از دو عدد 10 و 40 داريم .

         25=2÷(10+40)       و    15=2÷(10-40)y=      x=۲۰

و  20²+15²=25²

400+225=625

در ضمن آن دسته از مقسوم عليه هاي مربع 20 را كه حذف كرديم هم در اين مورد چندان غير قابل استفاده نيستند.

كافي است  جواب هاي معادله فبثاغورس را به جاي آنكه در مجموعه اعداد طبيعي محدود كنيم در مجموعه اعداد گوياي نا منفي جستجو كنيم و به روش فوق عمل كنيم.

 

آيا مي توانيد همه زوج هايي را كه با عدد 30 در رابطه فيثاغورس صدق مي كند را پيدا كنيد؟امتحان كنيد.                                   x²+y²=z²

30²+ y²=z²

Y=?     z=?

گروههای درسی

معمولا در مدارس عادي، به جهت اختلاف فاحش بين سطح علمي دانش آموزان نسبت به يكديگر، گروههاي درسي تشكيل مي شود. تا علاوه بر دهها فايده كار گروهي، منجر به پبشرفت تحصیلی دانش آموزان ضعيف گردد.

من در ترم گذشته دانش آموزانم را در طیف های "بسيار خوب،خوب،متوسط،ضعيف،و خيلي ضعيف"در نظر گرفتم.دانش آموزان بسيار خوب را سرگروه قرار دادم و آنها با رعايت اعتدال دانش آموزان متوسط،ضعيف،و خيلي ضعيف را انتخاب نمودند. ومن با اين توجيه كه دانش آموزان خوب در عملكرد آتي مي توانند خودشان را به سطح بسيار خوب برسانند اصل حضورشان را در اين گروهها رابه ميل خودشان واگذار نمودم.

و البته،بودند اندك دانش آموزاني كه مايل به حضور در اين گروهها نبودند.و من هم طبق نظرشان عمل كردم .

اما آنچه از نتايج ارزشيابي نوبت اول ميان آنها كه عضو گروهها بودند و اندك دانش آموزاني كه  طبق روال فوق در اين گروههاي درسي عضويت نداشتند اين بود كه دسته دوم در مجموع افت محسوسي داشتند. 

 سرگروهها در كلاس من وظایف و اختيارات زيادي دارند.از جمله: ساعاتي را كه در طي هفته طبق برنامه شان درسي ندارند.اين گروهها تشكيل مي شوند. و نكات درسي آن هفته مطرح،تمرین و نهایتا توسط سرگروه ارزشيابي صورت مي گيرد. و سرانجام اينكه بخشي از نمره مستمر "در نوبت قبل ۵/۲ نمره" توسط سرگروه داده مي شود.

 در خاتمه مايلم اشاره كنم با مقايسه عملكرد هر دانش آموز نسبت به سطح درسي خودش از حدود ۱۵۰دانش آموز  بيش از ۸۰ نفر مشمول دريافت "كارت هاي پيشرفت تحصيلي مدرسه تحت عنوان كارت تلاش"از درس ریاضی شدند.و من تصور می کنم بخشی از موفقیت شان به جهت همکاری و فعالیت مناسب در گروههای درسی است.